荡秋千、摆钟、节拍器，背后是同一条规律：摆来回一次用的时间，主要由摆有多长决定。这个模拟让学生改摆长、改摆角，亲自数一数周期，把伽利略当年的发现重做一遍。
实验目的
学生用完这个模拟，应该能做到：
- 说出单摆周期主要由摆长决定；
- 知道周期与摆锤质量、（小角度下的）摆幅几乎无关；
- 描述摆动过程中动能与重力势能的相互转化；
- 用单摆的等时性解释摆钟为什么能计时。
拖动摆锤到一侧再松手，观察它来回摆动。
如何操作
- 拖动摆锤到一侧再松手，它会来回摆动，浅色弧线标出运动轨迹。
- 数它完成 10 次全振动（左 → 右 → 回到起点算一次）用了多久，再除以 10 得到周期。
- 拖动“摆长”滑块把摆变长，读出提示里的周期估算值，再自己数一遍核对。
- 摆长不变，分别用很小的摆角和较大的摆角放手，比较周期是否明显不同。
- 点“暂停”，看清摆锤在最高点和最低点的位置，想一想这两处速度和能量的差别。
实验现象
把学生观察到的结果和下面这些对照一下：
- 摆长 250 单位时周期约 3.2s；把摆长增加到约 4 倍，周期变成约 2 倍。
- 摆长不变、只改初始摆角（小角度范围内），周期基本不变。这就是单摆的等时性。
- 摆锤在最低点速度最快，在两端速度为零并瞬时反向。
- 真实的摆会因空气阻力和摩擦逐渐减小摆幅，但周期几乎不变。
实验原理
单摆的周期公式是 T = 2π√(L/g)：周期只跟摆长 L 和当地重力加速度 g 有关，与摆锤质量、（小于约 10° 的）摆幅无关。摆长变成 4 倍，周期变成 2 倍，注意是平方根关系。
为什么与质量无关：回复力来自重力沿圆弧切线方向的分量 mg·sinθ，而惯性由质量 m 决定，两者都与 m 成正比，加速度里的 m 被约掉了。这就是伽利略观察比萨大教堂吊灯得出的结论。
摆动是能量在动能和重力势能之间的往复转化：两端势能最大、动能为零；最低点动能最大、势能最小。忽略阻力时机械能守恒，所以摆锤每次都能回到几乎相同的高度。
小角度近似：只有当摆角很小、sinθ ≈ θ（弧度）时，运动才接近简谐运动，周期才与摆幅无关。摆角很大时周期会略微变长。
这条规律可以反过来用：测出摆长和周期，就能算出当地的重力加速度 g = 4π²L/T²，这是经典的测量实验。
常见误区
- “重的摆锤摆得快” —— 与质量无关。换成更重的摆锤，周期不变。
- “摆幅越大周期越长” —— 小角度下几乎不变，只有大角度才明显变长。
- “摆停下来是因为周期变了” —— 停下来是能量被阻力耗散、摆幅减小，周期基本不变。
应用与延伸
- 机械摆钟用摆长控制走时，钟走快了就把摆锤往下调（摆长变长、周期变长）。
- 节拍器、荡秋千（在最低点蹬地是给系统补充能量）、打桩机的摆锤。
- 勘探中用重力摆测量 g 的微小差异，可以推断地下岩层和矿藏分布。
真实摆长对应的周期
模拟里摆长用像素计、g 取 980 像素/秒²，所以 250 像素的摆周期约 3.2 s。换成真实世界（g ≈ 9.8 m/s²），同一个公式给出：
| 摆长 L | 周期 T | 说明 |
|---|---|---|
| 0.25 m | 1.00 s | 摆长缩为四分之一，周期减半 |
| 0.50 m | 1.42 s | |
| 0.99 m | 2.00 s | “秒摆”，半个周期正好 1 秒 |
| 1.00 m | 2.01 s | 教室里最方便的摆长 |
| 2.00 m | 2.84 s | |
| 4.00 m | 4.01 s | 摆长变 4 倍，周期变 2 倍 |
表里 0.25 m 和 1.00 m、1.00 m 和 4.00 m 两对数据，把“平方根关系”说得很直接：摆长变 4 倍，周期只变 2 倍。让学生先猜“摆长加倍周期加倍”，再用数据推翻它，印象会很深。
用它测重力加速度
公式反过来就是一个测量方案：g = 4π²L / T²。取摆长 1.000 m（从悬点量到摆球球心），计 10 个全振动用时 20.1 s，则 T = 2.01 s，g = 4 × 9.87 × 1.000 ÷ 4.04 ≈ 9.77 m/s²，和 9.8 只差零点几。误差主要来自两处：摆长量到了球顶而不是球心，周期计时从最高点开始而不是最低点。把这两处改掉，结果会明显更接近。
课堂上怎么用这个模拟
让学生先用手机秒表给屏幕上的摆计时，数 10 个全振动，再和提示里的周期比，误差通常在零点几秒以内，这一步能建立“模拟是可信的”。然后只改摆长，把三组摆长和周期写在黑板上，让学生发现“四倍摆长、两倍周期”。摆角那一组交给坚信“摆得越高越慢”的学生来做，亲手测出周期不变比讲十遍都管用。